상호 인덕턴스, 원리, 결합 계수, 예제 2개,자기 인덕턴스와 비교

1. 개요

상호 인덕턴스는 전기와 자기의 상호 작용을 설명하는 개념 중 하나입니다.
두 개 이상의 코일이 서로 가까이 위치하고 있을 때, 한 코일에 흐르는 전류가 다른 코일에 전기적으로 유도되는 현상을 나타냅니다.

예를 들어, 한 코일에 전류를 흐르게 하면 주변에 자기장이 형성됩니다.
이 자기장은 다른 코일을 통해 흘러갈 수 있습니다.
이때, 첫 번째 코일의 전류가 변화하면, 그 주변의 자기장도 변화하게 되고, 이 변화된 자기장은 두 번째 코일을 통해 전류를 유도합니다.
이러한 상호 작용을 상호 인덕턴스라고 합니다.

상호 인덕턴스는 1831년에 영국의 과학자인 마이클 패러데이(Michael Faraday)에 의해 발견되었습니다.
그는 자기장의 변화가 전류를 유도한다는 것을 발견했고, 이를 상호 인덕턴스라고 명명했습니다.
이후에는 맥스웰(Maxwell)의 전자기학 이론에 의해 상호 인덕턴스의 이론적인 기초가 확립되었습니다.

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2. 상호 인덕턴스 원리

2-1) 원리

상호 인덕턴스는 두 개의 자석으로 연결된 코일 간의 회로 파라미터로, 한 코일이 생성한 변화하는 자속이 인접한 두 번째 코일로 유도되는 비율을 정의합니다.

이전에 우리는 인덕터가 자체 코일 턴 주변의 변하는 자기장으로 인해 자기 유도 전압을 생성한다고 보았습니다.
이 전압이 전류가 변하는 동일한 회로에 유도될 때 이 효과는 자기 유도 (L)라고 합니다.

그러나 이 전압이 같은 자기장 안에 있는 인접한 코일에 유도되면, 이 전압은 자기적으로 유도되거나 상호적으로 유도되거나 상호 유도라고도 합니다 (M).
그럼 두 개 이상의 코일이 공통 자속에 의해 자기적으로 연결될 때 상호 인덕턴스의 속성이 있다고 말합니다.

상호 인덕턴스는 변압기, 모터, 발전기 및 다른 자기장과 상호 작용하는 모든 전기 부품의 기본 동작 원리입니다.
그런 다음 상호 유도를 한 코일에서 흐르는 전류로 정의할 수 있습니다.

상호 인덕턴스는 때때로 문제가 될 수 있습니다.
“유출” 인덕턴스란 코일이 다른 부품에 불필요하게 자기장을 전달하는 현상을 말합니다.
이러한 유출 인덕턴스는 인접한 다른 부품의 동작을 방해할 수 있습니다.

간단히 말하면, 코일은 자기장을 생성합니다.
이 자기장이 다른 부품에 영향을 줄 수 있습니다.
때로는 이러한 영향이 원하지 않는 부분으로 전달되어 다른 부품의 동작을 방해할 수 있습니다.

이를 막기 위해 전기적으로 화면 처리를 하거나, 코일을 설계할 때 유출 인덕턴스를 최소화하는 방법을 사용합니다.
이렇게 함으로써 인접한 부품들 사이의 상호 작용을 최소화하고 원활한 전기적 시스템 동작을 유지할 수 있습니다.

한 코일에서 다른 코일로의 상호 인덕턴스 양은 두 코일의 상대적 위치에 매우 의존합니다.
한 코일이 다른 코일 옆에 위치하여 물리적 거리가 가까우면, 첫 번째 코일에서 생성된 거의 모든 자속이 두 번째 코일의 코일 턴과 상호 작용하여 상대적으로 큰 유도 전압을 유도하고 따라서 상대적으로 큰 상호 인덕턴스 값을 생성합니다.

마찬가지로, 두 코일이 서로 더 멀리 떨어져 있거나 서로 다른 각도에 위치하면, 첫 번째 코일에서 두 번째로 유도되는 자속의 양은 약해져서 훨씬 작은 유도 전압을 유도하고 따라서 훨씬 작은 상호 인덕턴스 값을 생성합니다.
따라서 상호 인덕턴스의 영향은 두 코일의 상대적인 위치나 간격에 크게 의존합니다.

2-2) 상호 인덕턴스 공식

코일 1인 L1에 흐르는 전류는 자기장을 형성하며, 이 자기장의 일부는 코일 2인 L2를 통과하여 상호 인덕턴스를 생성합니다.
코일 1에는 I1 전류와 N1 개의 턴이 있고, 코일 2에는 N2 개의 턴이 있습니다.

따라서 코일 2의 코일 1에 대한 Mutual Inductance M12는 서로의 위치에 따라 달라지며 다음과 같이 주어집니다

• 여기서,
• N2​는 코일 2의 턴 수
• Φ12​는 코일 1의 전류 I₁이 생성하는 자속

마찬가지로, 코일 2에서 전류가 흐를 때 코일 1을 둘러싼 자기 플럭스는 코일 1에서 같은 전류가 흐를 때 코일 2를 둘러싼 자속과 정확히 같습니다.
따라서 코일 1의 코일 2에 대한 상호 인덕턴스는 M21로 정의됩니다.
이 상호 인덕턴스는 두 코일의 크기, 턴 수, 상대적 위치 또는 방향에 관계없이 참입니다.
이것 때문에 우리는 두 코일 간의 상호 인덕턴스를 다음과 같이 쓸 수 있습니다

M12=M21=M

따라서 자체 인덕턴스는 인덕터를 단일 회로 요소로 특성화하며, Mutual Inductance는 두 인덕터 또는 코일 간의 어떤 형태의 자기적 결합을 나타냅니다.
이는 그들의 거리와 배열에 따라 다릅니다.
또한, 각각의 코일의 자체 인덕턴스는

• 여기서,
• N은 턴 수
• μ는 자기 투자율
• A는 횡단면적
• l은 길이

위의 두 방정식을 교차하여, 두 코일 사이에 존재하는 상호 인덕턴스 M는 각 코일의 자기 자속으로 표현될 수 있다.

두 코일 사이의 Mutual Inductance를 나타내는 최종적이고 보다 일반적인 표현은

3. 상호 인덕턴스 결합 계수

위의 방정식은 두 코일 간의 Mutual Inductance를 100%의 자기적 결합과 제로 플럭스(zero flux) 유출로 가정합니다.
그러나 실제로는 항상 플럭스 유출과 위치에 따른 손실이 발생하므로, 두 코일 간의 자기적 결합은 100%를 초과할 수 없습니다.
이러한 경우 특별한 인덕티브 코일에서는 이 값이 매우 근접할 수 있습니다.

두 코일 간의 자기적 결합을 설명할 때, 총 자기 플럭스 중 일부가 두 코일에 링크되는 상황을 고려해야 합니다.
이렇게 링크된 플럭스의 양은 두 코일 간의 총 가능한 플럭스 링크의 일부로 정의됩니다.
이 분수값은 결합 계수(coefficient of coupling)라고 하며, 보통 k로 표기됩니다.

결합 계수(k)는 두 코일 간의 자기적 결합 정도를 나타내는 중요한 개념입니다.
이 값은 0과 1 사이의 수로 표현되며, 0은 두 코일 간의 아무런 결합이 없음을 의미하고, 1은 완전한 결합을 의미합니다.
따라서 결합 계수가 클수록 두 코일은 강하게 상호 작용하고, 작을수록 상호 작용이 약해집니다.

다시 말해, 결합 계수(k)가 1이면 두 코일은 완벽하게 결합되어 있습니다.
k가 0.5보다 크면 코일 간의 결합이 강하고, k가 0.5보다 작으면 코일 간의 결합이 약하다고 말할 수 있습니다.

그럼 위의 방정식은 이 결합 계수 k를 고려하도록 수정할 수 있습니다.

결합 계수 k가 1인 경우, 한 코일의 모든 자기장 선이 다른 코일의 모든 턴을 통과합니다.
이는 두 코일이 매우 강하게 결합되어 있음을 의미합니다.

이 때, 두 코일 간의 상호 인덕턴스는 각 코일의 인덕턴스 값의 기하 평균이 됩니다.
기하 평균은 여러 값의 곱을 취한 후에 모든 값들의 개수로 제곱근을 구하는 것입니다.

또한, 두 코일의 인덕턴스가 서로 동일하고 L_1​=L_2​인 경우, 두 코일 간의 Mutual Inductance는 한 코일의 값과 같아집니다.
이는 두 코일 간의 상호 작용이 서로 동등하고 균형을 이루고 있음을 의미합니다.

4. 예제 풀이

​4-1) 예제 1

자기 인덕턴스가 각각 75mH와 55mH로 주어진 두 개의 인덕터는 첫 번째 코일에서 나오는 선속의 75%가 두 번째 코일을 절단하도록 공통의 자기 코어 위에 나란히 위치합니다. 두 코일 사이에 존재하는 총 상호 인덕턴스를 계산해 보겠습니다. ㅁ

문제에 두 인덕터의 자기 자속이 각각 75mH와 55mH로 주어졌고, 제 1 코일의 자기력선의 75%가 두 번째 코일을 통과한다고 가정합니다.
두 코일 사이에 존재하는 총 상호 인덕턴스

첫 번째 코일의 자기력선 중 75%가 두 번째 코일을 통과한다고 하면, 결합 계수 k는 0.75로 정의됩니다.

두 코일의 자기 자속은 각각 L₁​=75 mH와 L₂​=55 mH입니다.
주어진 값들을 공식에 대입하면

​4-2) 예제 2

각각 5H, 4H의 인덕턴스를 가지는 두 코일을 비자성체 코어에 균일하게 감았을 때, 이들의 상호 인덕턴스는 1.5H로 나타났습니다.
이들 사이에 존재하는 커플링 계수를 계산해 보겠습니다.

두 코일의 상호 인덕턴스 M이 1.5 H이며, 두 코일의 자기 자속이 각각 L₁=5H와 L2=4 H입니다.

결합 계수 k를 계산하기 위해

따라서, 두 코일 간에 존재하는 결합 계수는 약 0.335입니다.

5. 자기 인덕턴스와 비교